যোগাযোগ সার্কিট বীজগণিতের আইন, বুলিয়ান বীজগণিত

রিলে সার্কিটগুলির গঠন এবং অপারেটিং অবস্থার একটি বিশ্লেষণাত্মক রেকর্ড সার্কিটের বিশ্লেষণাত্মক সমতুল্য রূপান্তরগুলি সম্পাদন করা সম্ভব করে, অর্থাৎ, কাঠামোগত সূত্রগুলিকে রূপান্তর করে, তাদের অপারেশনে অনুরূপ স্কিমগুলি সন্ধান করে। কনট্যাক্ট সার্কিট প্রকাশকারী কাঠামোগত সূত্রগুলির জন্য রূপান্তর পদ্ধতিগুলি বিশেষভাবে সম্পূর্ণরূপে বিকশিত হয়।

কন্টাক্ট সার্কিটের জন্য, যুক্তির বীজগণিতের গাণিতিক যন্ত্রপাতি ব্যবহার করা হয়, আরও সঠিকভাবে, এর একটি সহজ জাত, যাকে বলা হয় প্রোপোজিশন ক্যালকুলাস বা বুলিয়ান বীজগণিত (গত শতাব্দীর গণিতবিদ জে. বুলের পরে)।

প্রোপোজিশনাল ক্যালকুলাসটি মূলত নির্ভরতা অধ্যয়ন করার জন্য তৈরি করা হয়েছিল (সত্য বা মিথ্যার উপর জটিল বিচারের সত্য বা মিথ্যাতা যা তাদের রচনা করে। সারমর্মে, প্রস্তাবিত ক্যালকুলাস হল দুটি সংখ্যার একটি বীজগণিত, অর্থাৎ একটি বীজগণিত যা প্রতিটি পৃথক আর্গুমেন্ট এবং প্রতিটি ফাংশনের দুটি মানের একটি থাকতে পারে।

এটি যোগাযোগের সার্কিটগুলিকে রূপান্তর করতে বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করার সম্ভাবনা নির্ধারণ করে, যেহেতু কাঠামোগত সূত্রে অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি আর্গুমেন্ট (পরিচিতি) শুধুমাত্র দুটি মান নিতে পারে, অর্থাৎ এটি বন্ধ বা খোলা হতে পারে এবং সম্পূর্ণ ফাংশনটি কাঠামোগত দ্বারা উপস্থাপিত হয়। সূত্রটি একটি বন্ধ বা একটি খোলা লুপ প্রকাশ করতে পারে।

বুলিয়ান বীজগণিত প্রবর্তন করে:

1) যে বস্তুর, সাধারণ বীজগণিতের মতো, নাম রয়েছে: স্বাধীন চলক এবং ফাংশন — তবে, সাধারণ বীজগণিতের বিপরীতে, বুলিয়ান বীজগণিতে উভয়ই কেবল দুটি মান নিতে পারে: 0 এবং 1;

2) মৌলিক লজিক অপারেশন:

• যৌক্তিক সংযোজন (বা বিচ্ছিন্নতা, যৌক্তিক OR, চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত?), যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: অপারেশনের ফলাফল 0 যদি এবং শুধুমাত্র যদি অপারেশনের সমস্ত আর্গুমেন্ট 0 এর সমান হয়, অন্যথায় ফলাফল 1 হয়;

• যৌক্তিক গুণন (বা সংযোজন, যৌক্তিক AND, দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে?, বা একেবারে নির্দিষ্ট করা হয়নি) যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: অপারেশনের ফলাফল 1 যদি এবং শুধুমাত্র যদি অপারেশনের সমস্ত আর্গুমেন্ট 1 এর সমান হয়, অন্যথায় ফলাফল হল 0;

• অস্বীকার (বা তদ্বিপরীত, যৌক্তিক নয়, যুক্তির উপরে একটি বার দ্বারা নির্দেশিত), যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: অপারেশনের ফলাফলের যুক্তির বিপরীত মান রয়েছে;

3) স্বতঃসিদ্ধ (বুলিয়ান বীজগণিতের সূত্র), যা যৌক্তিক অভিব্যক্তি রূপান্তর করার নিয়ম সংজ্ঞায়িত করে।

মনে রাখবেন যে প্রতিটি লজিক্যাল ক্রিয়াকলাপ ভেরিয়েবল এবং ফাংশনে উভয়ই সঞ্চালিত হতে পারে, যাকে নীচে বুলিয়ান ফাংশন বলা হবে... মনে রাখবেন যে, সাধারণ বীজগণিতের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, বুলিয়ান বীজগণিতে, লজিক্যাল গুণনের অপারেশনটি লজিক্যালের উপর অগ্রাধিকার পায় সংযোজন অপারেশন।

বুলিয়ান এক্সপ্রেশনগুলি অনেকগুলি বস্তুর (ভেরিয়েবল বা ফাংশন) উপর লজিক্যাল ক্রিয়াকলাপগুলিকে একত্রিত করে গঠিত হয়, যাকে অপারেশনের আর্গুমেন্ট বলা হয়।

বুলিয়ান বীজগণিতের নিয়মগুলি ব্যবহার করে লজিক্যাল এক্সপ্রেশনের রূপান্তর সাধারণত ন্যূনতম করার লক্ষ্যে করা হয়, কারণ অভিব্যক্তি যত সহজ, লজিক চেইনের জটিলতা তত কম, যা লজিক্যাল এক্সপ্রেশনের প্রযুক্তিগত বাস্তবায়ন।

বুলিয়ান বীজগণিতের সূত্রগুলি স্বতঃসিদ্ধ এবং ফলাফলের একটি সেট হিসাবে উপস্থাপিত হয়। ভেরিয়েবলের বিভিন্ন মান প্রতিস্থাপন করে এগুলি বেশ সহজভাবে পরীক্ষা করা যেতে পারে।

একটি বুলিয়ান ফাংশনের জন্য যেকোনো লজিক্যাল এক্সপ্রেশনের প্রযুক্তিগত অ্যানালগ হল একটি লজিক ডায়াগ্রাম... এই ক্ষেত্রে, যে ভেরিয়েবলগুলির উপর একটি বুলিয়ান ফাংশন নির্ভর করে সেগুলি এই সার্কিটের বাহ্যিক ইনপুটগুলির সাথে সংযুক্ত থাকে, একটি বুলিয়ান ফাংশনের মান তৈরি হয় সার্কিটের বাহ্যিক আউটপুট, এবং লজিক্যাল একটি এক্সপ্রেশনে প্রতিটি লজিক্যাল অপারেশন একটি লজিক্যাল উপাদান দ্বারা প্রয়োগ করা হয়।

এইভাবে, লজিক সার্কিটের আউটপুটে ইনপুট সিগন্যালের প্রতিটি সেটের জন্য, একটি সংকেত তৈরি হয় যা এই ভেরিয়েবলের সেটের একটি বুলিয়ান ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায় (আরও, আমরা নিম্নলিখিত নিয়মটি ব্যবহার করব: 0 — নিম্ন সংকেত স্তর , 1 — উচ্চ স্তরের সংকেত)।

লজিক সার্কিট তৈরি করার সময়, আমরা ধরে নেব যে ভেরিয়েবলগুলিকে প্যারাফেজ কোডে ইনপুট দেওয়া হয়েছে (অর্থাৎ, ভেরিয়েবলের প্রত্যক্ষ এবং বিপরীত উভয় মানই উপলব্ধ)।

সারণী 1 GOST 2.743-91 অনুযায়ী কিছু যুক্তি উপাদানের প্রচলিত গ্রাফিক উপাধি দেখায়, সেইসাথে তাদের বিদেশী অংশগুলিও।

ট্যাবে বুলিয়ান বীজগণিতের (AND, OR, NOT) তিনটি ক্রিয়া সম্পাদন করে এমন উপাদানগুলি ছাড়াও। 1 প্রধান থেকে প্রাপ্ত ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করে এমন উপাদানগুলি দেখায়:

— AND -NOT — যৌক্তিক গুণের অস্বীকার, যাকে শেফার মুভও বলা হয় (| দ্বারা চিহ্নিত)

— OR -NOT — যৌক্তিক পরিপূরকের অস্বীকার, পিয়ার্সের তীরও বলা হয় (এর দ্বারা চিহ্নিত?)

ক্রমিকভাবে লজিক গেট একসাথে সংযুক্ত করে, আপনি যেকোন বুলিয়ান ফাংশন বাস্তবায়ন করতে পারেন।

সাধারণভাবে রিলে সার্কিটকে প্রকাশ করে এমন কাঠামোগত সূত্র, যেমন, বিক্রিয়াকারী ঈগলের প্রতীক ধারণ করে, শুধুমাত্র বন্ধ বা খোলা সার্কিট প্রকাশ করে এমন দুটি মানের ফাংশন হিসেবে গণ্য করা যায় না। অতএব, এই ধরনের ফাংশনগুলির সাথে কাজ করার সময়, অনেকগুলি নতুন নির্ভরতা দেখা দেয় যা বুলিয়ান বীজগণিতের সীমা অতিক্রম করে।

বুলিয়ান বীজগণিতে, চার জোড়া মৌলিক সূত্র রয়েছে: দুটি স্থানচ্যুতি, দুটি সমন্বিত, দুটি বিতরণমূলক, এবং দুটি আইনি বিপরীত। এই আইনগুলি বিভিন্ন অভিব্যক্তির সমতা স্থাপন করে, অর্থাৎ, তারা অভিব্যক্তিগুলিকে বিবেচনা করে যা সাধারণ বীজগণিতের পরিচয়ের প্রতিস্থাপনের মতো একে অপরের জন্য প্রতিস্থাপিত হতে পারে। একটি সমতুল্য প্রতীক হিসাবে আমরা চিহ্নটি গ্রহণ করি যা সাধারণ বীজগণিত (=) এর সমতা প্রতীকের সমান।

কনট্যাক্ট সার্কিটের জন্য বুলিয়ান বীজগণিতের আইনের বৈধতা সমতুল্য রাশির বাম এবং ডান দিকের সার্কিট বিবেচনা করে প্রতিষ্ঠিত হবে।

ভ্রমণ আইন

যোগ করতে: x + y = y + x

এই অভিব্যক্তিগুলির সাথে সম্পর্কিত স্কিম্যাটিকগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 1, ক.

বাম এবং ডান সার্কিটগুলি সাধারণত খোলা সার্কিট, যেগুলির প্রতিটি বন্ধ হয়ে যায় যখন একটি উপাদান (X বা Y) ট্রিগার হয়, অর্থাৎ এই সার্কিটগুলি সমতুল্য। গুণের জন্য: x ·y = y ·NS।

এই অভিব্যক্তিগুলির সাথে সম্পর্কিত স্কিম্যাটিকগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 1b, তাদের সমতাও সুস্পষ্ট।

ভাত। 1

সংমিশ্রণের আইন

যোগ করার জন্য: (x + y) + z = x + (y + z)

গুণের জন্য: (x ·y) ·z = x · (y ·z)

এই অভিব্যক্তিগুলির সাথে সম্পর্কিত সমতুল্য সার্কিটের জোড়াগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 2, ক, খ

ভাত। 2

বন্টন আইন

গুন বনাম যোগ: (x + y) +z = x + (y + z)

যোগ বনাম গুণ। x ·y + z = (x + z) · (y + z)

এই অভিব্যক্তিগুলির সাথে সম্পর্কিত স্কিম্যাটিকগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 3, ক, খ.

ভাত। 3.

যোগাযোগের বিভিন্ন সমন্বয় বিবেচনা করে এই স্কিমগুলির সমতা সহজেই যাচাই করা যেতে পারে।

বিপরীত আইন

উপরন্তু: NS + c = NS·c

অভিব্যক্তির বাম দিকের উপরের বারটি একটি নেতিবাচক বা বিপরীত চিহ্ন। এই চিহ্নটি নির্দেশ করে যে সম্পূর্ণ ফাংশনের বিপরীত অর্থ রয়েছে নেগেশান সাইনের নীচের অভিব্যক্তির ক্ষেত্রে। সম্পূর্ণ বিপরীত ফাংশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি ডায়াগ্রাম আঁকা সম্ভব নয়। সুতরাং, ফর্মুলাটি চিত্রে দেখানো ডায়াগ্রাম দিয়ে চিত্রিত করা যেতে পারে। 4, ক.

ভাত। 4.

বাম চিত্রটি x + y অভিব্যক্তির সাথে এবং ডানটি NS ·c এর সাথে মিলে যায়

এই দুটি সার্কিট অপারেশনে একে অপরের বিপরীত, যথা: যদি অবাঞ্ছিত উপাদান X, Y সহ বাম সার্কিটটি একটি খোলা সার্কিট হয়, তবে ডান সার্কিটটি বন্ধ হয়ে যায়। যদি বাম সার্কিটে, যখন উপাদানগুলির একটি ট্রিগার হয়, সার্কিটটি বন্ধ হয়ে যায় এবং ডান সার্কিটে, বিপরীতে, এটি খোলে।

যেহেতু, নেতিবাচক চিহ্নের সংজ্ঞা অনুসারে, x + y ফাংশনটি x + y ফাংশনের বিপরীত, তাহলে এটা স্পষ্ট যে x + y = NS·in।

গুণের বিষয়ে: NS · c = NS + c

সংশ্লিষ্ট স্কিমগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 4, খ.

ট্রান্সলোকেটিভ এবং কম্বিনেশনাল এবং আইন এবং যোগের ক্ষেত্রে গুণের বন্টনমূলক আইন (সাধারণ বীজগণিতের অনুরূপ আইনের সাথে মিলে যায়)।অতএব, পদের যোগ এবং গুণের ক্রমানুসারে কাঠামোগত সূত্রের রূপান্তর, বন্ধনীর বাইরে পদ স্থাপন এবং বন্ধনীর সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে, আপনি সাধারণ বীজগণিতীয় রাশিগুলির সাথে কাজ করার জন্য প্রতিষ্ঠিত নিয়মগুলি অনুসরণ করতে পারেন। গুণের ক্ষেত্রে যোগের বণ্টনমূলক নিয়ম এবং বিপরীতের নিয়মগুলি বুলিয়ান বীজগণিতের জন্য নির্দিষ্ট।