সংখ্যা সিস্টেম

একটি সংখ্যা পদ্ধতি হল বিভিন্ন সংখ্যাসূচক চিহ্ন ব্যবহার করে সংখ্যাগুলিকে উপস্থাপন করার নিয়মগুলির একটি সেট। সংখ্যা সিস্টেম দুটি প্রকারে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়: অ-পজিশনাল এবং পজিশনাল।

অবস্থানগত সংখ্যা পদ্ধতিতে, প্রতিটি অঙ্কের মান এটি যে অবস্থানে রয়েছে তার উপর নির্ভর করে না, অর্থাৎ, অঙ্কের সেটে এটি যে স্থানটি দখল করে তার উপর। রোমান সংখ্যা পদ্ধতিতে, শুধুমাত্র সাতটি সংখ্যা রয়েছে: এক (I), পাঁচ (V), দশ (X), পঞ্চাশ (L), একশ (C), পাঁচশ (D), এক হাজার (M)। এই সংখ্যাগুলি (প্রতীক) ব্যবহার করে, অবশিষ্ট সংখ্যাগুলি যোগ এবং বিয়োগ দ্বারা লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, IV হল 4 নম্বরের স্বরলিপি (V — I), VI হল নম্বর 6 (V + I) ইত্যাদি। 666 নম্বরটি রোমান পদ্ধতিতে নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: DCLXVI।

এই স্বরলিপিটি আমরা বর্তমানে যেটি ব্যবহার করি তার চেয়ে কম সুবিধাজনক। এখানে ছয়টি একটি প্রতীক (VI), ছয়টি দশটি আরেকটি (LX), ছয় শত এবং তৃতীয় (DC) দিয়ে লেখা হয়েছে। রোমান সংখ্যা পদ্ধতিতে লেখা সংখ্যার সাথে পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা খুব কঠিন। এছাড়াও, নন-পজিশনাল সিস্টেমগুলির একটি সাধারণ অসুবিধা হল তাদের মধ্যে যথেষ্ট পরিমাণে সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করার জটিলতা যাতে অত্যন্ত কষ্টকর স্বরলিপি তৈরি হয়।

এখন অবস্থানগত সংখ্যা পদ্ধতিতে একই সংখ্যা 666 বিবেচনা করুন। এতে, একটি একক চিহ্ন 6 মানে শেষ স্থানে থাকলে সংখ্যার সংখ্যা, উপান্তর স্থানে থাকলে দশের সংখ্যা এবং শেষ থেকে তৃতীয় স্থানে থাকলে শতের সংখ্যা। সংখ্যা লেখার এই নীতিকে অবস্থানগত (স্থানীয়) বলা হয়। এই ধরনের রেকর্ডিংয়ে, প্রতিটি সংখ্যা শুধুমাত্র তার শৈলীর উপর নির্ভর করে না, সংখ্যাটি লেখার সময় এটি কোথায় দাঁড়ায় তার উপর নির্ভর করে একটি সংখ্যাসূচক মান পায়।

অবস্থানগত সংখ্যা পদ্ধতিতে, A = +a1a2a3 … ann-1an হিসাবে উপস্থাপিত যে কোনও সংখ্যাকে যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

যেখানে n — একটি সংখ্যার ছবিতে সংখ্যার সসীম সংখ্যা, ii সংখ্যা i-go ডিজিট, d — সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি, i — বিভাগের অর্ডিনাল নম্বর, dm-i — i-ro বিভাগের "ওজন" . সংখ্যা ai অবশ্যই অসমতা 0 <= a <= (d — 1) পূরণ করবে।

দশমিক স্বরলিপির জন্য, d = 10 এবং ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9।

যেহেতু এক এবং শূন্য সমন্বিত সংখ্যাগুলিকে একসাথে ব্যবহার করার সময় দশমিক বা বাইনারি সংখ্যা হিসাবে ধরা যেতে পারে, তাই সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি সাধারণত নির্দেশিত হয়, উদাহরণস্বরূপ (1100)2-বাইনারি, (1100)10-ডেসিমেল।

ডিজিটাল কম্পিউটারে, দশমিক ব্যতীত অন্যান্য সিস্টেমগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়: বাইনারি, অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমাল।

বাইনারি সিস্টেম

এই সিস্টেমের জন্য d = 2 এবং এখানে শুধুমাত্র দুটি সংখ্যা অনুমোদিত, যেমন ai = 0 বা 1।

বাইনারি সিস্টেমে প্রকাশ করা যেকোনো সংখ্যাকে প্রদত্ত বিটের বাইনারি ডিজিটের দ্বিগুণ বেসের শক্তির গুণফলের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 101.01 সংখ্যাটি এভাবে লেখা যেতে পারে: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, যা দশমিক পদ্ধতিতে সংখ্যার সাথে মিলে যায়: 4 + 1 + 0.25 = 5.25।

বেশিরভাগ আধুনিক ডিজিটাল কম্পিউটারে, বাইনারি নম্বর সিস্টেমটি একটি মেশিনে সংখ্যাগুলি উপস্থাপন করতে এবং তাদের উপর গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে ব্যবহৃত হয়।

বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি, দশমিক একের সাথে তুলনা করে, পাটিগণিত যন্ত্র এবং মেমরি ডিভাইসের সার্কিট এবং সার্কিট সহজ করা এবং কম্পিউটারের নির্ভরযোগ্যতা বৃদ্ধি করা সম্ভব করে। একটি বাইনারি সংখ্যার প্রতিটি বিটের অঙ্ক ট্রানজিস্টর, ডায়োডের মতো উপাদানগুলির "অন/অফ" অবস্থা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যা "অন/অফ" অবস্থায় নির্ভরযোগ্যভাবে কাজ করে। বাইনারি সিস্টেমের অসুবিধাগুলির মধ্যে একটি বিশেষ প্রোগ্রাম অনুসারে বাইনারি নম্বর সিস্টেমে মূল ডিজিটাল ডেটা এবং সিদ্ধান্তের ফলাফলকে দশমিকে অনুবাদ করার প্রয়োজন অন্তর্ভুক্ত।

অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতি

এই সিস্টেমের বেস d == 8 আছে। সংখ্যাগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহার করা হয়: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7।

অক্টাল নম্বর সিস্টেম কম্পিউটারে সমস্যা সমাধানের জন্য (প্রোগ্রামিং প্রক্রিয়ায়), মেশিনের অপারেশন চেক করার জন্য এবং একটি প্রোগ্রাম ডিবাগ করার জন্য একটি সহায়তা হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এই সিস্টেমটি বাইনারি সিস্টেমের তুলনায় সংখ্যার একটি সংক্ষিপ্ত উপস্থাপনা দেয়। অক্টাল সংখ্যা সিস্টেম আপনাকে সহজভাবে বাইনারি সিস্টেমে স্যুইচ করতে দেয়।

হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি

এই সিস্টেমের ভিত্তি d = 16। সংখ্যাগুলিকে উপস্থাপন করতে 16 অক্ষর ব্যবহার করা হয়: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, এবং A … F অক্ষরগুলি 10, 11, 12, 13, 14 এবং 15 দশমিক সংখ্যাগুলিকে উপস্থাপন করে৷ হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা (1D4F) 18 দশমিক 7503 এর সাথে মিলে যাবে কারণ (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 + 14 15 x 16O = (7503)10

হেক্সাডেসিমেল স্বরলিপি বাইনারি সংখ্যাগুলিকে অক্টালের চেয়ে আরও কম্প্যাক্টলি লেখার অনুমতি দেয়। এটি কিছু কম্পিউটারের ইনপুট এবং আউটপুট ডিভাইস এবং নম্বর অর্ডার ডিসপ্লে ডিভাইসে অ্যাপ্লিকেশন খুঁজে পায়।

বাইনারি-ডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতি

বাইনারি-ডেসিমেল পদ্ধতিতে সংখ্যার উপস্থাপনা নিম্নরূপ। সংখ্যাটির দশমিক স্বরলিপি একটি ভিত্তি হিসাবে নেওয়া হয়, এবং তারপরে এর প্রতিটি সংখ্যা (0 থেকে 9 পর্যন্ত) একটি চার-সংখ্যার বাইনারি সংখ্যার আকারে লেখা হয় যাকে টেট্রাড বলা হয়, অর্থাৎ প্রতিনিধিত্ব করার জন্য একটি চিহ্ন ব্যবহার করা হয় না। দশমিক সিস্টেমের প্রতিটি অঙ্ক, কিন্তু চার.

উদাহরণস্বরূপ, দশমিক 647.59 বিসিডি 0110 0100 0111, 0101 1001 এর সাথে মিলে যাবে।

বাইনারি-দশমিক সংখ্যা সিস্টেম একটি মধ্যবর্তী সংখ্যা সিস্টেম হিসাবে এবং ইনপুট এবং আউটপুট সংখ্যা এনকোডিংয়ের জন্য ব্যবহৃত হয়।

একটি নম্বর সিস্টেম অন্য নম্বরে স্থানান্তর করার নিয়ম

কম্পিউটার ডিভাইসের মধ্যে তথ্যের আদান-প্রদান প্রধানত বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে উপস্থাপিত সংখ্যার মাধ্যমে সঞ্চালিত হয়। যাইহোক, তথ্য দশমিক পদ্ধতিতে ব্যবহারকারীর কাছে উপস্থাপিত হয় এবং কমান্ড অ্যাড্রেসিং অক্টাল সিস্টেমে উপস্থাপিত হয়। তাই কম্পিউটারের সাথে কাজ করার প্রক্রিয়ায় এক সিস্টেম থেকে অন্য সিস্টেমে নম্বর স্থানান্তর করার প্রয়োজন। এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত সাধারণ নিয়ম ব্যবহার করুন।

যেকোন সংখ্যা পদ্ধতি থেকে একটি পূর্ণ সংখ্যাকে অন্য সংখ্যায় রূপান্তর করতে, ভাগফলটি ভাজকের চেয়ে কম না হওয়া পর্যন্ত এই সংখ্যাটিকে নতুন সিস্টেমের ভিত্তি দ্বারা ধারাবাহিকভাবে ভাগ করতে হবে। নতুন সিস্টেমে সংখ্যাটি অবশ্যই শেষের থেকে শুরু করে, অর্থাৎ ডান থেকে বামে বিভাজনের অবশিষ্টাংশের আকারে লিখতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন দশমিক 1987 কে বাইনারিতে রূপান্তর করি:

বাইনারি বিন্যাসে দশমিক সংখ্যা 1987 হল 11111000011, অর্থাৎ (1987)10 = (11111000011)2

যে কোন সিস্টেম থেকে দশমিকে পরিবর্তন করার সময়, সংখ্যাটিকে সংশ্লিষ্ট সহগ সহ বেসের শক্তির যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং তারপর যোগফলের মান গণনা করা হয়।

উদাহরণ স্বরূপ, অক্টাল সংখ্যা 123 কে দশমিকে রূপান্তর করা যাক: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, i.e. (123)8 = (83)10

একটি সংখ্যার ভগ্নাংশকে যেকোনো সিস্টেম থেকে অন্য সিস্টেমে স্থানান্তর করতে, নতুন সংখ্যা পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে এই ভগ্নাংশের ক্রমাগত গুণন এবং ফলাফলের ভগ্নাংশের অংশগুলি সম্পাদন করা প্রয়োজন। নতুন সিস্টেমে একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ প্রথম থেকে শুরু করে, ফলস্বরূপ পণ্যগুলির সম্পূর্ণ অংশের আকারে গঠিত হয়। একটি নির্দিষ্ট নির্ভুলতা সহ একটি সংখ্যা গণনা না হওয়া পর্যন্ত গুণন প্রক্রিয়া চলতে থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, 0.65625 দশমিক ভগ্নাংশকে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করা যাক:

যেহেতু পঞ্চম গুণফলের ভগ্নাংশে শুধুমাত্র শূন্য রয়েছে, তাই আরও গুণ করা অপ্রয়োজনীয়। এর অর্থ হল প্রদত্ত দশমিকটি ত্রুটি ছাড়াই বাইনারিতে রূপান্তরিত হয়, যেমন (0.65625)10 = (0.10101)2।

অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল থেকে বাইনারি এবং এর বিপরীতে রূপান্তর করা কঠিন নয়। এর কারণ হল তাদের বেস (d — 8 এবং d — 16) দুইটির পূর্ণসংখ্যার সাথে মিলে যায় (23 = 8 এবং 24 = 16)।

অক্টাল বা হেক্সাডেসিমেল সংখ্যাকে বাইনারিতে রূপান্তর করতে, তাদের প্রতিটি সংখ্যাকে যথাক্রমে একটি তিন- বা চার-অঙ্কের বাইনারি নম্বর দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যথেষ্ট।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন অক্টাল সংখ্যা (571)8 এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা (179)16কে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে অনুবাদ করি।

উভয় ক্ষেত্রেই আমরা একই ফলাফল পাই, যেমন (571)8 = (179)16 = (101111001)2

একটি সংখ্যাকে বাইনারি-ডেসিমেল থেকে দশমিকে রূপান্তর করতে, আপনাকে বাইনারি-ডেসিমেলে উপস্থাপিত সংখ্যার প্রতিটি টেট্রেডকে দশমিকে উপস্থাপিত একটি সংখ্যা দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন সংখ্যাটি লিখি (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 দশমিক স্বরলিপিতে, যেমন (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 = (218,625)