যুক্তিবিদ্যার বীজগণিতের মৌলিক এবং আইন
19 শতকের মাঝামাঝি আইরিশ গণিতবিদ জর্জ বুল যুক্তিবিদ্যার বীজগণিত ("চিন্তার আইনের অধ্যয়ন") বিকাশ করেছিলেন। তাই যুক্তিবিদ্যার বীজগণিতও বলা হয় বুলিয়ান বীজগণিত.
অক্ষর উপাধি প্রদান করে, ক্রিয়া প্রতীকে যৌক্তিক রূপান্তরের ক্রিয়াকলাপ প্রকাশ করে এবং এই ক্রিয়াকলাপের জন্য প্রতিষ্ঠিত নিয়ম এবং স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে, যুক্তির বীজগণিত বিবৃতি যুক্তির পরিপ্রেক্ষিতে প্রদত্ত সমস্যা সমাধানে যুক্তি প্রক্রিয়াটিকে অ্যালগরিদমে সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করার অনুমতি দেয়। , অর্থাৎ, এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য একটি গাণিতিকভাবে লিখিত প্রোগ্রাম থাকতে হবে।
বিবৃতির সত্যতা বা মিথ্যাকে বোঝাতে (অর্থাৎ, বিবৃতি মূল্যায়নের জন্য মান প্রবর্তন করতে), যুক্তির বীজগণিত একটি বাইনারি সিস্টেম ব্যবহার করে, এই ক্ষেত্রে সুবিধাজনক। বিবৃতিটি সত্য হলে, এটি মান 1 নেয়, যদি এটি মিথ্যা হয়, এটি মান 0 নেয়। বাইনারি সংখ্যার বিপরীতে, যৌক্তিক 1s এবং 0s একটি পরিমাণ প্রকাশ করে না, কিন্তু একটি অবস্থা।
সুতরাং, বুলিয়ান বীজগণিত ব্যবহার করে বর্ণিত বৈদ্যুতিক সার্কিটে, যেখানে 1 হল ভোল্টেজের উপস্থিতি এবং 0 হল এর অনুপস্থিতি, সার্কিটের একটি নোডে বিভিন্ন উত্স থেকে ভোল্টেজ সরবরাহ করা (অর্থাৎ, এটির বেশ কয়েকটি লজিক্যাল ইউনিটের আগমন) এছাড়াও একটি যৌক্তিক একক হিসাবে দেখায় যা নোডে মোট ভোল্টেজ নয়, শুধুমাত্র তার উপস্থিতি নির্দেশ করে।
লজিক সার্কিটগুলির ইনপুট এবং আউটপুট সংকেতগুলি বর্ণনা করার সময়, ভেরিয়েবলগুলি ব্যবহার করা হয় যা কেবলমাত্র লজিক্যাল 0 বা 1 এর মান নেয়৷ ইনপুটের উপর আউটপুট সংকেতগুলির নির্ভরতা নির্ধারণ করা হয় লজিক্যাল অপারেশন (ফাংশন)… আসুন X1 এবং X2 দ্বারা ইনপুট ভেরিয়েবল এবং y দ্বারা একটি লজিক্যাল অপারেশন দ্বারা প্রাপ্ত আউটপুট বোঝাই।
এটা চিন্তা করুন তিনটি মৌলিক প্রাথমিক লজিক্যাল অপারেশন, যার সাহায্যে ক্রমবর্ধমান জটিলগুলি বর্ণনা করা যেতে পারে।
1. বা অপারেশন — যৌক্তিক সংযোজন:
ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য মান দেওয়া হলে, কেউ আউটপুটে একটি উত্পাদন করতে ইনপুটে কমপক্ষে একটি ইউনিটের পর্যাপ্ততা হিসাবে OR অপারেশনটিকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। অপারেশনের নামটি ইউনিয়নের শব্দার্থিক অর্থ দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে OR বাক্যাংশে: "যদি OR একটি ইনপুট হয় বা দ্বিতীয়টি একটি হয়, তাহলে আউটপুটটি একটি।"
2. অপারেশন এবং — যৌক্তিক গুণন:
ভেরিয়েবলের মানগুলির সম্পূর্ণ সেট বিবেচনা করা থেকে, AND অপারেশনটিকে আউটপুটে একটি পেতে ইনপুটগুলির সমস্তগুলির সাথে মিল করার প্রয়োজন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: “যদি AND একটি ইনপুট হয় এবং দ্বিতীয়টি হয়, তাহলে আউটপুট এক. "
3. অপারেশন নয় — যৌক্তিক অস্বীকার বা বিপরীত। এটি ভেরিয়েবলের উপরে একটি বার দ্বারা নির্দেশিত হয়।
বিপরীত হলে, চলকের মান বিপরীত হয়।
লজিক্যাল বীজগণিতের মৌলিক নিয়ম:
1. শূন্য সেটের আইন: অন্য ভেরিয়েবলের মান নির্বিশেষে যেকোনো ভেরিয়েবল শূন্য হলে যেকোনো সংখ্যক ভেরিয়েবলের গুণফল অদৃশ্য হয়ে যায়:
2. সার্বজনীন সেটের আইন — যেকোন সংখ্যক ভেরিয়েবলের যোগফল এক হয়ে যায় যদি অন্তত একটি ভেরিয়েবলের মান একটি থাকে, অন্য ভেরিয়েবল নির্বিশেষে:
3. পুনরাবৃত্তির আইন — অভিব্যক্তিতে বারবার ভেরিয়েবলগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে (অন্য কথায়, বুলিয়ান বীজগণিতে একটি সংখ্যাসূচক সহগ দ্বারা কোনও সূচক এবং গুণ নেই):
4. ডবল ইনভার্সশনের সূত্র - দুইবার সম্পাদিত বিপরীত একটি খালি অপারেশন:
5. পরিপূরকতার আইন — প্রতিটি চলকের গুণফল এবং এর বিপরীত শূন্য:
6. প্রতিটি চলকের যোগফল এবং এর পারস্পরিক একটি হল:
7. প্রতিরক্ষামূলক আইন — গুণ ও যোগ ক্রিয়া সম্পাদনের ফলাফল ভেরিয়েবলগুলি যে ক্রমে অনুসরণ করে তার উপর নির্ভর করে না:
8. সম্মিলিত আইন — গুণ ও সংযোজন ক্রিয়াকলাপের সময়, ভেরিয়েবলগুলি যে কোনও ক্রমে গোষ্ঠীভুক্ত করা যেতে পারে:
9. বন্টন আইন — এটি বন্ধনীর বাইরে মোট সহগ রাখার অনুমতি দেওয়া হয়:
10. শোষণের আইন — সমস্ত কারণ এবং পদে একটি পরিবর্তনশীল যুক্ত অভিব্যক্তিকে সরল করার উপায় নির্দেশ করুন:
11. ডি মরগানের আইন — পণ্যের বিপর্যয় হল ভেরিয়েবলের বিপরীতের সমষ্টি:
যোগফলের বিপর্যয় হল ভেরিয়েবলের বিপরীতের গুণফল:
